Question

如圖，⊙O1與⊙O2外切與點D，直線l與兩圓分別相切于點A、B，與直線

O1、O2相交于點M，且tan∠AM01=，MD=4．

（1）求⊙O2的半徑；

（2）求△ADB內切圓的面積；

（3）在直線l上是否存在點P，使△MO2P相似于△MDB？若存在，求出PO2的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連結O1A、O2B，如圖，設⊙O1的半徑為r，⊙O2的半徑為R，

∵⊙O1與⊙O2外切與點D，

∴直線O1O2過點D，

∴MO2=MD+O2D=4+R，

∵直線l與兩圓分別相切于點A、B，

∴O1A⊥AB，O2B⊥AB，

∵tan∠AM01=，

∴∠AM01=30°，

在Rt△MBO2中，MO2=O2B=2R，

∴4+R=2R，解得R=4，

即⊙O2的半徑為4；

（2）∵∠AM02=30°，

∴∠MO2B=60°，

而O2B=O2D，

∴△O2BD為等邊三角形，

∴BD=O2B=4，∠DBO2=60°，

∴∠ABD=30°，

∵∠AM01=30°，

∴∠MO1A=60°，

而O1A=O1D，

∴∠O1AD=∠O1DA，

∴∠O1AD=∠MO1A=30°，

∴∠DAB=60°，

∴∠ADB=180°﹣30°﹣60°=90°，

在Rt△ABD中，AD=BD=4，AB=2AD=8，

∴△ADB內切圓的半徑===2﹣2，

∴△ADB內切圓的面積=π•（2﹣2）2=（16﹣8）π；

（3）存在．

在Rt△MBO2中，MB=O2B=×4=12，

當△MO2P∽△MDB時，=，即=，解得O2P=8；

當△MO2P∽△MBD時，=，即=，解得O2P=8，

綜上所述，滿足條件的O2P的長為8或8．