Question

過點（4，3）的二次函數的頂點坐標是（2，-1），M、N是拋物線與x軸的交點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）直線y=x+3與二次函數交于A、B兩點，P是二次函數上任意一點，是否能夠在對稱軸上找到一點K，使得四邊形KAPB為平行四邊形？如果存在，求出點K的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據頂點坐標設拋物線頂點式解析式y=a（x-2）²-1，然后把點（4，3）代入求出a的值，即可得解；
（2）根據直線與拋物線的方程求得點A、B的坐標．然后根據平行四邊形的對邊平行且相等的性質知，AK∥BP，AK=BP．所以根據“點A坐標為（0，3），點K的橫坐標為2，點B的橫坐標為5”求得點P的橫坐標是3，則由二次函數圖象上點的坐標特征求得點P的縱坐標是0；最后根據點P的縱坐標來求點K的縱坐標．

解答：解：（1）∵拋物線頂點坐標（2，-1），
∴設拋物線解析式為y=a（x-2）²-1（a≠0），
∵拋物線經過點（4，3），
∴a（4-2）²-1=3，
解得a=1，
所以，該拋物線解析式為y=（x-2）²-1或y=x²-4x+3；

（2）能夠在對稱軸上找到一點K，使得四邊形KAPB為平行四邊．
理由如下：
根據題意，得

y=x+3 y=x2-4x+3

，
解得，

x=0 y=3

或

x=5 y=8

，
則點A（0，3），B（5，8）．
假設四邊形KAPB為平行四邊形．
則AK∥BP，AK=BP，
∵點A坐標為（0，3），點K的橫坐標為2，點B的橫坐標為5，
∴點P的橫坐標為5-2=3，點P的縱坐標y=3²-4×3+3=0，點K的縱坐標為8+3=11，
∴K（2，11）．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式，拋物線與x軸的交點坐標問題，根據頂點坐標，利用頂點式解析式求解更加簡便．