Question

如圖，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB 邊上的一點，以BD為直徑的⊙O與邊 AC 相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點 F .

【小題1】求證： DE＝FE
【小題2】若 BC＝3，AD＝2，求 BF 的長．

Answer 1

【小題1】證明：連接OE，BE

則OE⊥AC，BE⊥DF
所以∠AEO＝90°.----------------2分
又因為∠ACB＝90°，
所以OE//BC．
又DO=OB，
所以OE是△ABC的中位線，
所以DE=EF．----------------4分
【小題2】解：Rt△ABC和Rt△AOE中，∠A是公共角，
∴Rt△ABC ∽Rt△AOE，----------------6分
∴＝.
設⊙O的半徑是r，則有，
解得r＝2，∴BD＝4. ----------------8分
由（1）得∠BDF=∠OED=∠BFD，∴BF＝BD＝4----------------10分解析:
（1）連接OE，易證OE∥BC，根據等O是BC中點，則E是DF的中點即可求解；
（2）易證△AOE∽△ABC，根據相似三角形的對應邊的比相等即可證得圓的半徑，即可求解．