Question

13．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD、DC（或它們的延長線）于E、F．

（1）當∠MBN繞B點旋轉到AE=CF時（如圖1），求證：AE+CF=EF；
（2）當∠MBN繞B點旋轉到AE≠CF時，在 圖2和 圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，根據△ABE≌△CBF可證△BEF是等邊三角形，即可解題；
（2）①如圖2中，結論仍然成立．證明△EBF≌△KBF，即可得EF=CK+CF，可證AE+CF=EF；
③如圖3中，結論不成立，猜想猜想AE-CF=EF．在DC的延長線上取點K，使CK=AE，連接BK證明△EBF≌△KBF，即可得AE-CF=EF．

解答 解：（1）如圖1中，

在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠BCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴BE=BF，∴∠ABE=∠CBF=$\frac{1}{2}$（∠ABC-∠MBN）=$\frac{1}{2}$（120°-60°）=30°．
∴AE=$\frac{1}{2}$BE，CF=$\frac{1}{2}$BF，
△BEF是等邊三角形．
∴BE=BF=EF．
∴AE+CF=$\frac{1}{2}$BE+$\frac{1}{2}$BF=EF；

（2）①如圖2中，結論仍然成立．理由如下：
延長DC至K點使得CK=AE，

在△ABE和△CBK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠BCK}\\{AE=CK}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BK=BE}\\{∠KBF=∠EBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△KBF（SAS）．
∴EF=KF．
∴EF=CK+CF．
∴AE+CF=EF；

③如圖3，結論不成立．猜想AE-CF=EF，理由如下：
證明如下：在DC的延長線上取點K，使CK=AE，連接BK．

在△ABE和△CBK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠BCK}\\{AE=CK}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°．
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BK}\\{∠KBF=∠EBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF=KF，
∴EF=CK-CF．
∴AE-CF=EF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．