Question

5．已知，如圖，在長方形ABCD中，AB=8，AD=3，點E是AB的中點，點P是CD上的動點，點B關于直線PE的對稱點為M，問：當CP的長為3或$\sqrt{7}$時，點M恰好落在△DEP的邊上．

Answer 1

分析 分兩種情形討論即可①如圖1中，當點M在DE上時，②如圖2中，當點M在DP上時．

解答 解：①如圖1中，當點M在DE上時，

∵四邊形ABCD是長方形，
∴AB∥CD，AB=CD=8，
∴∠BEP=∠EPD，
∵∠BEP=∠DEP，
∴∠DEP=∠DPE，
∴DE=DP，
在Rt△ADE中，∵AD=3，AE=4，
∴DP=DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴PC=CD-DP=8-5=3．

②如圖2中，當點M在DP上時，

∵AB∥CD，
∴∠BEP=∠EPD，
∵∠EPD=∠EPB，
∴∠BEP=∠BPE，
∴EB=PB=4，
在Rt△PBC中，∵PB=4，BC=3，
∴PC=$\sqrt{P{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
綜上所述，PC的長為3或$\sqrt{7}$．
故答案為3或$\sqrt{7}$．

點評 本題考查矩形的性質、軸對稱的性質、等腰三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是等腰三角形的判定和性質的應用，屬于中考常考題型．