Question

點G是正方形ABCD邊AB的中點，點E是射線BC上一點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F，連接EG．

（1）若E為BC的中點（如圖1）
①求證：△AEG≌△EFC；
②連接DF，DB，求證：DF⊥BD；
（2）若E是BC延長線上一點（如圖2），則線段CF和BE之間存在怎樣的數量關系，給出你的結論并證明．

Answer 1

分析：（1）①由正方形的性質及G是AB的中點、E是BC的中點可以求出∠AGE=135°，AG=EC，∠GAE=∠CEF，從而得出結論；
②設正方形的邊長為2a，由條件可以得出AG=EC=a，如圖1，作FN⊥BC于N，由條件證明△ABE≌△ENF，可以得出BE=FN=a，就有CN=a，CF=

2

a，得出，

AB

BD

=

2

2

，

CF

CD

=

2

2

，就可以得出△ABD∽△FCD，就可以得出∠ADB=∠FDC=45°，得出∠BDF=90°，得出結論；
（2）延長BA到M，使AM=CE，作FG⊥BC的延長線于G，證明△AME≌△ECF，得出AE=EF，證明△ABE≌△CGF，可以得出GF=BE，從而可以得出CF與BE的關系．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=∠BDC=45°．
∵點G、E分別是AB、BC的中點，
∴AG=BG=

1

2

AB，BE=CE=

1

2

BC，
∴AG=BG=BE=CE．
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=135°．
∵CF平分∠DCN，
∴∠DCF=∠NCF=45°，
∴∠ECF=135°．
∴∠AGE=∠ECF．
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEN=90°．
∵∠AEB+∠BNE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AEG≌△EFC中，

∠AGE=∠ECF AG=EC ∠BAE=∠FEC

，
∴△AEG≌△EFC（ASA）
②作FN⊥BC于N，
∴∠FNC=90°，
∴∠ABE=∠ENF．
∵△AEG≌△EFC，
∴AE=EF．
在△ABE和△ENF中，

∠ABE=∠ENF ∠BAE=∠FEC AE=EF

，
∴△ABE≌△ENF（AAS），
∴FN=BE，
∵∠CFN=45°，
∴CF=

2

FN．
設AB=CD=AD=CD=2a，
∴BD=2

2

a，CF=

2

a，
∴

AB

BD

=

2

2

，

CF

CD

=

2

2

，
∴

AB

BD

=

CF

CD

，
∵∠ABD=∠FCD=45°，
∴△ABD∽△FCD，
∴∠ADB=∠FDC=45°，
∴∠BDF=90°，
∴DF⊥BD．
（2）CF=

2

BE．理由：
延長BA到M，使AM=CE，作FG⊥BC的延長線于G，
∴∠FGE=90°，
∴∠ABE=∠FGE．
在Rt△CFG中，由勾股定理．得
∴CF=

2

FG．
∴∠FGE=∠ABE．
∵∠AEF=90°，
∴∠FEG+∠AEB=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∴∠MAE=∠CEF．
∵AB=BC，
∴AB+AM=BC+CE，
即BM=BE．
∴∠M=45°，
∴∠M=∠FCE．
在△AME和△ECF中，

∠MAE=∠CEF AM=CE ∠M=∠FCE

，
∴AE=EF，∠MAE=∠CEF，
∴∠BAE=∠GEF
在△ABE和△CGF中，

∠BAE=∠GEF ∠ABE=∠FGE AE=EF

，
∴△ABE≌△CGF（AAS）
∴BE=FG，
∴CF=

2

BE．

點評：本題考查了正方形的性質：正方形四條邊都相等，四個角為等于90°；正方形的對角線相等且互相垂直平分．也考查了全等三角形的判定與性質．在解答時證明三角形全等和相似是關鍵．