Question

如圖，直線AB與坐標軸分別交于點A、點B，且OA、OB的長分別為方程x²-6x+8=0的兩個根（OA＜OB），點C在y軸上，且OA：AC=2：5，直線CD垂直于直線AB于點P，交x軸于點D．
（1）求出點A、點B的坐標．
（2）請求出直線CD的解析式．
（3）若點M為坐標平面內任意一點，在坐標平面內是否存在這樣的點M，使以點B、P、D、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程的解法得出0A=2，0B=4，即可得出的A，B的坐標；
（2）首先利用角之間的關系得出△BOA∽△COD，即可得出D點的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式；
（3）先求出P點坐標（2，3），再根據平行四邊形的性質，當PM=BD，M可在第一象限或第二象限，以及BM=PD時M在第三象限分別分析直接得出答案．
解答：解：（1）∵x²-6x+8=0，
∴x₁=4，x₂=2（1分），
∵0A、0B為方程的兩個根，且0A＜0B，
∴0A=2，0B=4（1分），
∴A（0，2），B（-4，0）（1分）；

（2）∵0A：AC=2：5，OA=2，
∴AC=5，
∴OC=OA+AC=2+5=7，
∴C（0，7）（1分），
∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90°，
∴∠PBD=∠OCD，
∵∠BOA=∠COD=90°，
∴△BOA∽△COD，
∴=，
∴OD===（1分），
∴D（，0），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
把C（0，7），D（，0）分別代入得：，
∴（1分），
∴y_CD=-2x+7（1分）；

（3）存在，
∵A（0，2），B（-4，0），
∴設直線AB的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
故直線AB的解析式為：y=x+2，
將直線AB與直線CD聯立，
解得：，
∴P點坐標（2，3），
∵D（，0），B（-4，0），
∴BD=7.5，
當PM₁BD是平形四邊形，
則BD=PM ₁=7.5，
∴AM ₁=5.5，
∴M₁（-5.5，3），
當PBDM₂是平形四邊形，
則BD=PM ₂=7.5，
∴AM ₂=9.5，
∴M₂（9.5，3），
P到x軸距離等于M₃到x軸距離，故M₃的縱坐標為-3，
∵BE=DF=BD-DE=6，
∴FO=6-3.5=2.5，
∴M₃的橫坐標為-2.5，
∴M₃的坐標為（-2.5，-3）；
綜上所述M點的坐標為：M₁（-5.5，3），M₂（9.5，3），M₃（-2.5，-3）（3分）．
注：本卷中各題若有其它正確的解法，可酌情給分．
點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及相似三角形的判定和一元二次方程的解法等知識，相似三角形與函數經常綜合出現，同學們應注意靈活應用．