Question

如圖，直線AB與坐標軸的交點分別為A、B，P是函數y=

1

2x

在第一象限的圖象上的一點，它的坐標是（a，b），PM⊥x軸，PN⊥y軸，AB與PM、PN分別交于點E、F，OA=OB=1．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求點E、F的坐標（用a、b表示）；
（3）△OAF與△EBO是否一定相似？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據OA=OB=1，即可得出A，B兩點的坐標，代入解析式求出即可；
（2）把x=a代入y=-x+1，以及y=b代入求出即可；
（3）根據P是函數y=

1

2x

在第一象限的圖象上的一點，它的坐標是（a，b），求出

AF

OA

=

OB

BE

即可得出答案．

解答：解：（1）∵OA=OB=1，即可得出A，B兩點的坐標，
∴A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
∴

k+b=0 b=1

，
∴k=-1，b=1，
∴y=-x+1，
（2）x=a代入y=-x+1，
∴E（a，-a+1），y=-a+1，y=b代入，x=1-b．
∴F（1-b，b），

（3）△OAF與△EBO一定相似．
連接OE，OF．過點E作ED⊥BO于點D，
E（a，-a+1），B（0，1），
則BD=1-（-a+1）=a，DE=a，
故BE=

DE2+BD2

=

2

a．
F（1-b，b），A（1，0）．
∴AF=

2

b．（1分）b=

1

2a

，

2 b

1

=

1

2 a

，

OB

BE

=

1

2 a

．

OB

BE

=

1

2 a

，
∵P（a，b）是函數y=

1

2x

上的點，
∴b=

1

2a

，
∴2ab=1．
∴

2 b

1

=

1

2 a

．

OB

BE

=

1

2 a

∴

AF

OA

=

OB

BE

．
又∠OAB=∠OBA，
∴△OAF∽△EBO．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及反比例函數與一次函數圖象點的坐標性質，靈活利用三角形相似的判定定理得出是解決問題的關鍵．