Question

如圖，直線AB與坐標軸分別交于點A、點B，且OA、OB的長分別為方程x²-6x+8=0的兩個根（OA＜OB），點C在y軸上，且OA：AC=2：5，直線CD垂直于直線AB于點P，交x軸于點D．
（1）求出點A、點B的坐標．
（2）請求出直線CD的解析式．
（3）若點M為坐標平面內(nèi)任意一點，在坐標平面內(nèi)是否存在這樣的點M，使以點B、P、D、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的解法得出0A=2，0B=4，即可得出的A，B的坐標；
（2）首先利用角之間的關系得出△BOA∽△COD，即可得出D點的坐標，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（3）先求出P點坐標（2，3），再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，當PM=BD，M可在第一象限或第二象限，以及BM=PD時M在第三象限分別分析直接得出答案．

解答：解：（1）∵x²-6x+8=0，
∴x₁=4，x₂=2（1分），
∵0A、0B為方程的兩個根，且0A＜0B，
∴0A=2，0B=4（1分），
∴A（0，2），B（-4，0）（1分）；

（2）∵0A：AC=2：5，OA=2，
∴AC=5，
∴OC=OA+AC=2+5=7，
∴C（0，7）（1分），
∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90°，
∴∠PBD=∠OCD，
∵∠BOA=∠COD=90°，
∴△BOA∽△COD，
∴

BO

CO

=

OA

OD

，
∴OD=

OA•CO

BO

=

2×7

4

=

7

2

（1分），
∴D（

7

2

，0），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
把C（0，7），D（

7

2

，0）分別代入得：

b=7 7 2 k+b=0

，
∴

b=7 k=-2

（1分），
∴y_CD=-2x+7（1分）；

（3）存在，
∵A（0，2），B（-4，0），
∴設直線AB的解析式為：y=kx+b，
∴

b=2 -4k+b=0

，
解得：

k= 1 2 b=2

，
故直線AB的解析式為：y=

1

2

x+2，
將直線AB與直線CD聯(lián)立

y= 1 2 x+2 y=-2x+7

，
解得：

x=2 y=3

，
∴P點坐標（2，3），
∵D（

7

2

，0），B（-4，0），
∴BD=7.5，
當PM₁BD是平形四邊形，
則BD=PM ₁=7.5，
∴AM ₁=5.5，
∴M₁（-5.5，3），
當PBDM₂是平形四邊形，
則BD=PM ₂=7.5，
∴AM ₂=9.5，
∴M₂（9.5，3），
P到x軸距離等于M₃到x軸距離，故M₃的縱坐標為-3，
∵BE=DF=BD-DE=6，
∴FO=6-3.5=2.5，
∴M₃的橫坐標為-2.5，
∴M₃的坐標為（-2.5，-3）；
綜上所述M點的坐標為：M₁（-5.5，3），M₂（9.5，3），M₃（-2.5，-3）（3分）．
注：本卷中各題若有其它正確的解法，可酌情給分．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定和一元二次方程的解法等知識，相似三角形與函數(shù)經(jīng)常綜合出現(xiàn)，同學們應注意靈活應用．