Question

某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，經試銷發現，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數y=kx+b，且x=65時，y=55；x=75時，y=45．
（1）求一次函數y=kx+b的表達式；
（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關系式；
（3）若該商場想獲得500元的利潤且盡可能地擴大銷售量，則銷售單價應定為多少元？
（4）銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

Answer 1

分析：（1）把x=65，y=55；x=75，y=45代入y=kx+b中，列方程組求k、b的值即可；
（2）根據利潤W=（x-60）×銷售量y，列出函數關系式；
（3）利用（2）的函數關系式，列方程求出當w=500時，銷售單價x的值；
（4）利用（2）的函數關系式，配方成頂點式，可求最大利潤．

解答：解：（1）根據題意得

65k+b=55 75k+b=45.

解得k=-1，b=120．
所求一次函數的表達式為y=-x+120．（3分）

（2）W=（x-60）•（-x+120）=-x²+180x-7200=-（x-90）²+900，（6分）

（3）由W=500，得500=-x²+180x-7200，
整理得，x²-180x+7700=0，解得，x₁=70，x₂=110．
因為要盡量擴大銷售量，所以當x=70時，銷售利潤為500元．（8分）

（4）∵拋物線的開口向下，
∴當x=90時，w有最大值，此時w=900，
∴當銷售單價定為90元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是900元．（10分）

點評：本題考查了二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．