Question

如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個村莊，A村到公路l的距離AC=1km，B村到公路l的距離BD=2km，B村在A村的南偏東45°方向上．
（1）求出A，B兩村之間的距離；
（2）為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡要寫明作法）．

Answer 1

分析：（1）易得∠CAB=45°那么可根據45°的三角函數來求得AB的兩段長，相加即可；
（2）線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．到點A，B的距離相等，應在線段AB的垂直平分線上．

解答：解：（1）設AB與CD的交點為O，根據題意可得∠A=∠B=45度，
∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．（1分）
∴AO=

2

，BO=2

2

．
∴A，B兩村的距離為AB=AO+BO=

2

+2

2

=3

2

（km）．（4分）

（2）作圖正確，痕跡清晰．（5分）
作法：①分別以點A，B為圓心，以大于

1

2

AB的長為半徑作弧，兩弧交于兩點M，N，作直線MN；
②直線MN交l于點P，點P即為所求．（7分）

點評：到平面內兩個點距離相等的點應在連接這兩點的線段的垂直平分線上．