Question

19．如圖所示，在⊙O中，半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接EC，若AB=8，CD=2，則EC的長(zhǎng)度為（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 8
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． 2$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 首先連接BE，由⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，AB=8，CD=1，根據(jù)垂徑定理可求得AC=BC=4，然后設(shè)OA=x，利用勾股定理可得方程：4²+（x-1）²=x²，則可求得半徑的長(zhǎng)，繼而利用三角形中位線的性質(zhì)，求得BE的長(zhǎng)，又由AE是直徑，可得∠B=90°，繼而求得答案．

解答 解：連接BE，

∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，AB=8，
∴AC=BC=4，
設(shè)OA=x，
∵CD=2，
∴OC=x-2，
在Rt△AOC中，AC²+OC²=OA²，
∴4²+（x-2）²=x²，
解得：x=5，
∴OA=OE=5，OC=3，
∴BE=2OC=6，
∵AE是直徑，
∴∠B=90°，
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．