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(2009•桂林)如圖,△ABC內(nèi)接于半圓,AB為直徑,過點A作直線MN,若∠MAC=∠ABC.
(1)求證:MN是半圓的切線.
(2)設D是弧AC的中點,連接BD交AC于G,過D作DE⊥AB于E,交AC于F,求證:FD=FG.
(3)在(2)的條件下,若△DFG的面積為4.5,且DG=3,GC=4,試求△BCG的面積.

【答案】分析:(1)要證MN是⊙O的切線,只需證明MA⊥AB即可,易得∠MAC+∠CAB=90°,即MA⊥AB;故可得證.
(2)連接AD,則∠1=∠2,進而可得∠1+∠DGF=90°,故∠FDG=∠FGD,即FD=FG.
(3)求△BCG的面積,只需證得△FGH∽△BGC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì),求得△BCG的面積.
解答:(1)證明:∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°.
∴∠CAB+∠ABC=90°.(1分)
∵∠MAC=∠ABC,
∴∠MAC+∠CAB=90°.
即MA⊥AB.
∴MN是半圓的切線.(2分)

(2)證明:
證法1:∵D是弧AC的中點,
∴∠DBC=∠2.(3分)
∵AB是直徑,
∴∠CBG+∠CGB=90°.
∵DE⊥AB,
∴∠FDG+∠2=90°.(4分)
∵∠DBC=∠2,
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD.
∴FD=FG.(5分)
證法2:連接AD,則∠1=∠2,(3分)
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°.
∴∠1+∠DGF=90°.
又∵DE⊥AB,
∴∠2+∠FDG=90°.(4分)
∴∠FDG=∠FGD.
∴FD=FG.(5分)

(3)解:解法1:過點F作FH⊥DG于H,(6分)
又∵DF=FG,
∴S△FGH=S△DFG=×4.5=.(7分)
∵AB是直徑,F(xiàn)H⊥DG,
∴∠C=∠FHG=90°.(8分)
∵∠HGF=∠CGB,
∴△FGH∽△BGC.
.(9分)
∴S△BCG==16.(10分)

解法2:∵∠ADB=90°,DE⊥AB,
∴∠3=∠2.(6分)
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3.
∴AF=DF=FG.(7分)
∴S△ADG=9.(8分)
∵∠ADG=∠BCG,∠DGA=∠CGB.
∴△ADG∽△BCG.(9分)

∴S△BCG=.(10分)

解法3:連接AD,過點F作FH⊥DG于H.
∵SFDG=DG×FH=×3FH=4.5,
∴FH=3.
∵H是DG的中點,F(xiàn)H∥AD,
∴AD=2FH=6
∴S△ADG=
∵∠ADG=∠BCG,∠DGA=∠CGB.
∴△ADG∽△BCG.
∵DG=3,GC=4,
=(2
=(2
∴S△BCG=16.
點評:本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.
練習冊系列答案
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(3)設(2)中所作的⊙P的圓心坐標為P(x,y),求y關于x的函數(shù)關系式.
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