Question

如圖平行四邊形OABC，A點坐標為（2，0）拋物線y=ax²+bx+4經過點A、B、C三點，交y軸于D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一點且△OBP≌△ODP，求P點坐標；
（3）直線MN∥x軸，交拋物線于N，交y軸負半軸于M，連線段BN、AM，BN交OD于E，得AM∥BN，求線段MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的解析式，可得到點B的坐標，由于平行四邊形的對邊相等，即OA=BC=2，由此可求得拋物線的對稱軸方程，進而可求得D點坐標，然后將點D的坐標代入拋物線的解析式中，聯立拋物線的對稱軸方程即可確定該二次函數的解析式．
（2）由拋物線的解析式可求得OB=OD=4，若△OBP≌△ODP，那么必有∠BOP=∠DOP，即P點為二、四象限的角平分線與拋物線的交點，可據此求得點P的坐標．
（3）由MN∥x軸，可得到OE：OB=MN：BM，由AM∥BE，可得到OE：OB=OA：OM，等量代換后可求得MN：BM=OA：OM，可設出點N的坐標，即可表示出MN、OM的長，根據上面的比例式，可得到N點橫、縱坐標的關系式，聯立拋物線的解析式，即可求出N點的橫坐標，而MN的長為N點橫坐標的絕對值，由此得解．
解答：解：（1）由平行四邊形ABCO得：BC=AO=2，
∴對稱軸x=-=-1，b=2a，D（-4，0），
∵y=ax²+2ax+4過點D（-4，0），
∴0=16a-8a+4，a=-；
故拋物線的解析式為：y=-x²-x+4．

（2）∵△OBP≌△ODP，且OB=OD=4，
∴∠BOP=∠DOP，
即∠BOP=45°或135°，
故P在第二或第四象限的角平分線上，
即P的橫坐標與縱坐標互為相反數，（5分）
則有：x+y=0；
又y=-x²-x+4，x+y=-x²+4=0，
解得：x₁=2，x₂=-2；y₁=-2，y₂=2；
故P（2，-2）或（-2，2）．（7分）

（3）設N（x，y），則OM=-y，MN=-x；
∵MN∥x軸，AM∥BN，
∴=①，=②；（9分）
由①②得=，=，y=；（10分）
又y=-x²-x+4=-x²-x+4，
化簡得x²+4x-4=0，
解得x₁=2-2，x₂=-2-2；
MN=-x=2+2．（12分）
點評：此題考查了二次函數解析式的性質及解析式的確定、全等三角形的性質、函數圖象交點坐標的求法、平行線分線段成比例定理等重要知識點，綜合性強，難度較大．