Question

如圖，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角∠AOB=90°，點C是

AB

上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連接DE，點G、H在線段DE上，且DG=GH=HE
（1）求證：四邊形OGCH是平行四邊形；
（2）當點C在

AB

上運動時，在CD、CG、DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度；
（3）求證：CD²+3CH²是定值．

Answer 1

分析：（1）連接OC，容易根據已知條件證明四邊形ODCE是矩形，然后利用其對角線互相平分和DG=GH=HE可以知道四邊形CHOG的對角線互相平分，從而判定其是平行四邊形；
（2）由于四邊形ODCE是矩形，而矩形的對角線相等，所以DE=OC，而CO是圓的半徑，這樣DE的長度不變，也就DG的長度不變；
（3）過C作CN⊥DE于N，設CD=x，然后利用三角形的面積公式和勾股定理用x表示CN，DN，HN，再利用勾股定理就可以求出CD²+3CH²的值了．

解答：（1）證明：連接OC交DE于M．
由矩形得OM=CM，EM=DM．
∵DG=HE．
∴EM-EH=DM-DG．
∴HM=GM．
∴四邊形OGCH是平行四邊形．

（2）解：DG不變．
在矩形ODCE中，∵DE=OC=3．
∴DG=1．

（3）證明：設CD=x，則CE=

9-x2

．過C作CN⊥DE于N．
由DE•CN=CD•EC得CN=

x 9-x2

3

．
∴DN=

x2-( x 9-x2 3 )2

=

x2

3

．
∴HN=3-1-

x2

3

=

6-x2

3

．
∴3CH²=3[（

6-x2

3

）²+（

x 9-x2

3

）²]=12-x²．
∴CD²+3CH²=x²+12-x²=12．

點評：本小題主要考查圓、矩形、平行四邊形、直角三角形等基礎圖形的性質與判定，考查計算能力、推理能力和空間觀念．