Question

利用勾股定理討論下下面的問題：（S₁，S₂分別表示直角三角形中直角邊上的圖形的面積，S₃表示斜邊上的圖形的面積）
（1）以直角三角形的三邊為邊分別向形外作等邊三角形，則S₁+S₂與S₃是什么關系？
（2）以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓，則S₁+S₂與S₃是什么關系？
（3）做過上面兩小題后，你有什么發現？

Answer 1

考點：勾股定理

專題：

分析：（1）先根據等邊三角形的性質求出S₁，S₂，S₃的值，進而可得出結論；
（2）先根據圓的面積公式求出S₁，S₂，S₃的值，進而可得出結論；
（3）根據（1）、（2）中S₁+S₂與S₃的可得出結論．

解答： 解：（1）如圖①，由等邊三角形的性質可得：S₁=

3

4

AC²，S₂=

3

4

BC²，S₃=

3

4

AB²，
則S₁+S₂=

3

4

（AC²+BC²），
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃；

（2）如圖②，由圓的面積計算公式知：S₁=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，S₃=

1

8

πAB²，
則S₁+S₂=

1

8

π（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃；

（3）由（1）（2）可知，以直角三角形的兩直角邊所作的等邊三角形的面積和等于以斜邊為邊所作等邊三角形的面積；以直角三角形的兩直角邊所作的半圓的面積和等于以斜邊為邊所作半圓的面積．

點評：本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質及等腰直角三角形的性質，關鍵是熟悉各種圖形的面積公式，結合勾股定理，運用等式的性質進行變形．