Question

【題目】類(lèi)比特殊四邊形的學(xué)習(xí)，我們可以定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．
（1）【探索體驗(yàn)】如圖1，已知在四邊形ABCD中，∠A=40°，∠B=100°，∠C=120°．求證：四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”．

（2）如圖2，若AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，那么四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”嗎？試說(shuō)明理由．

（3）【嘗試應(yīng)用】如圖3，在邊長(zhǎng)為6的正方形木板ABEF上裁出“等對(duì)角四邊形”ABCD，若已經(jīng)確定DA=4m，∠DAB=60°，是否在正方形ABEF內(nèi)（包括邊上）存在一點(diǎn)C，使四邊形ABCD以∠DAB=∠BCD為等對(duì)角的四邊形的面積最大？若存在，試求出四邊形ABCD的最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在四邊形ABCD中，∠A=40°，∠B=100°，∠C=120°．

∴∠D=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C=100°，∠A≠∠C，

∴∠D=∠D，

∴四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”

（2）證明：如圖2，連接BD，

∵AB=AD，CB=CD，

∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，

∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，

∴∠ABC=∠ADC，

∵AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，且BD=BD，

∴△ABD與△CBD不相似，

∴∠A≠∠C，

∴四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”

（3）如圖3，連接BD，

當(dāng)∠DAB=∠BCD=60°時(shí)，四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，

此時(shí)點(diǎn)C在BD為弦的 上，

要使四邊形ABCD的面積最大，則點(diǎn)C在邊BE上，

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，作DM⊥BC于點(diǎn)M，

在Rt△ADH中，∠DAH=60°，AD=4，

∴AH=2，DH=2 ，

∴BH=AB﹣AH=4，

∵四邊形DHBM是矩形，

∴BM=DH=2 ，DM=BH=4，

在Rt△DMC中，∠DCM=60°，

∴CM= DM= ，

∴BC=BM+CM=2 + = ，

∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×6×2 + × ×4= （m2）

【解析】（1）求出第4個(gè)角度數(shù)，按照定義即可判斷出結(jié)論；（2）利用等邊對(duì)等角定理，須連接BD，得出有一組對(duì)角相等，再證另一組對(duì)角不等，得出結(jié)論;（3）借鑒（2）的方法，要使∠BCD=60°，C需在以BD為弦的弧BD上，若四邊形ABCD的面積最大，則點(diǎn)C在邊BE上，才能使高最大，進(jìn)而面積最大.
【考點(diǎn)精析】掌握三角形的面積和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道三角形的面積=1/2×底×高；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．