Question

如圖，矩形A′B′C′O′是矩形OABC（邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上）繞B點逆時針旋轉得到的，O′點在x軸的正半軸上，B點的坐標為（1，3）．O′C′與AB交于D點．
（1）如果二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過O，O′兩點且圖象頂點M的縱坐標為-1，求這個二次函數的解析式；
（2）求D點的坐標；
（3）若將直線OC繞點O旋轉α度（0＜α＜90）后與拋物線的另一個交點為點P，則以O、O′、B、P為頂點的四邊形能否是平行四邊形？若能，求出tanα的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為B點坐標為（1，3），所以C點坐標為（0，3），A點坐標為（1，0），連接OB，O′B，由勾股定理可求出OB的長，根據旋轉的性質可知OB=O′B，由勾股定理可求出O′A即可求出O′點的坐標．因為二次函數的圖象過O，O′兩點，根據二次函數圖象上點的坐標特點可求出對稱軸直線，可求出M點的坐標．再用待定系數法即可求出函數的解析式．
（2）由于Rt△BC′D≌Rt△O′AD，可知DO′=BD，設AD=x，則可表示出D利用勾股定理；
（3）假設以O、O′、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形，作出圖形，求出P點坐標，再通過判斷BP₁∥=OO'，BP₂∥=OO'，得出四邊形是平行四邊形的結論．

解答：解：（1）因為B點坐標為（1，3），
所以C點坐標為（0，3），A點坐標為（1，0），連接OB，O′B，
所以OA=1，AB=3；根據旋轉的性質可知OB=O′B，
根據勾股定理，AO′=

(BO′)2-BA2

=

BO2-BA2

=

AO2+AB2-BA2

=

12+32-32

=1，
則OO'=1+1=2，O'坐標為（2，0），對稱軸為x=

2+0

2

=1，
又因為圖象頂點M的縱坐標為-1，
∴M點坐標為（1，-1）．
設解析式為y=a（x-1）²-1，
把（0，0）代入解析式
得0=a-1．a=1，原式可化為y=x²-2x．

（2）因為∠C′=∠DAO'，∠C'DB=∠ADO'，BC=AO'，
所以△C'DB≌△ADO'，于是BD=O'D．
設AD=x，所以O'D=BD=3-x，在Rt△DAO'中，x²+1=（3-x）²，
解得x=

4

3

，
所以D點的坐標為（1，

4

3

）．

（3）如圖所示，延長CB、BC分別交拋物線于P₁，P₂．由于B點縱坐標為3且BC平行于x軸，
故P₁、P₂縱坐標為3，代入拋物線解析式，
得：x²-2x=3，
解得x₁=3，x₂=-1．
于是BP₁=3-1=2，BP₂=1-（-1）=2，
故BP₁∥OO'且BP₁=OO'，BP₂∥OO'且BP₂=OO'，
于是OO'P₁B和OO'P₂B均為平行四邊形．
則以O、O′、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形，
tanα=

CP1

CO

=

3

3

=1或tanα=

CP2

CO

=

1

3

．
于是tanα=1或

1

3

．

點評：考查學生的對存在問題和動點問題的思考方法及數學思想的考查．要注意結合圖形，分情況討論．