Question

（14分）如圖，⊙O的直徑AB=4，點P是AB延長線上的一點，過P點作⊙O 的切線，切點為C，連結AC.

（1）若∠CPA=30°，求PC的長；

（2）若點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點M．你認為∠CMP的大小是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變化，求出∠CMP的大小.

Answer 1

（1）；（2）∠CMP的大小不發生變化，45°．

【解析】

試題分析：（1）作輔助線，連接OC，根據切線的性質知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的長，可將PC的長求出；

（2）通過角之間的轉化，可知：∠CMP=（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不發生變化．

試題解析：（1）連接OC，

∵AB=4，∴OC=2，∵PC為⊙O的切線，∠CPO=30°，∴PC=；

（2）∠CMP的大小沒有變化．理由如下：

∵∠CMP=∠A+∠MPA（三角形外角定理），∠A=∠COP（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），∠MPA=∠CPO（角平分線的性質），∴∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO）=×90°=45°．

考點：1．解直角三角形；2．切線的性質．