Question

16．如圖，在一次數學課外實踐活動中，要求測量山坡前某建筑物的高度 AB．小剛在D處用高1.5m的測角儀CD，測得該建筑物頂端A的仰角為45°，然后沿傾斜角為30°的山坡向上前進20m到達E，重新安裝好測角儀CD后又測得該建筑物頂端A的仰角為60°．求該建筑物的高度AB．（結果保留根號）

Answer 1

分析 作C′M⊥AB于M，MC′的延長線與DC的延長線交于N，作CG⊥AB于G，D′F⊥CD于F，設AM為xm，解Rt△AC′M與Rt△DD′F，用含x的代數式表示出AG、CG，然后根據△ACG是等腰直角三角形得出AG=CG，依此列出方程，解方程即可求出AM，結合圖形計算即可．

解答 解：如圖，作C′M⊥AB于M，MC′的延長線與DC的延長線交于N，作CG⊥AB于G，D′F⊥CD于F，設AM為xm，
∵在Rt△AC′M中，∠AC′M=60°，
∴C′M=$\frac{\sqrt{3}}{3}$xm．
∵在Rt△DD′F中，∠DD′F=30°，DD′=20m，
∴DF=$\frac{1}{2}$DD′=10m，D′F=10$\sqrt{3}$m，
∴C′N=D′F=10$\sqrt{3}$m，MN=MC′+C′N=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+10$\sqrt{3}$，
∴CG=MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+10$\sqrt{3}$．
∵CN=CF+FN=CF+C′D′=CF+CD=DF=10，
∴AG=AM+MG=AM+CN=x+10．
∵在Rt△ACG中，∠ACG=45°，
∴AG=CG，
∴x+10=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+10$\sqrt{3}$，
解得，x=10$\sqrt{3}$，
則該建筑物的高度AB=AM+MG+GB=AM+CN+CD=10$\sqrt{3}$+10+1.5=10$\sqrt{3}$+11.5．
答：該建筑物的高度AB為（10$\sqrt{3}$+11.5）m．

點評 本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，理解仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的概念是解題的關鍵．