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(1)學完全等三角形以后,老師布置了這樣一道題:如圖1,點M、N分別在等邊△ABC的BC、CA邊上,且BM=CN,AM、BN交于點Q.試說明:∠BQM=60°.

(2)小麗做完后,進行了反思,提出了許多問題,如:

①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換,得到的是否仍是真命題?

②若將題中的點M、N分別移動到BC、CA的延長線上,是否仍能得到∠BQM=60°?

請你作出判斷,在下列橫線上填寫“是”或“否”:① ;② .

并對②給出證明.

 

(1)證明見試題解析;(2)① 是,②是,證明見試題解析.

【解析】

試題分析:(1)由三角形ABC為等邊三角形,利用等邊三角形的性質得到三個角相等,三條邊相等,利用SAS得到三角形ABM與三角形BCN全等,利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等,利用外角性質及等量代換即可得證;

(2)①是真命題,條件與結論交換后,先利用兩對角相等的三角形相似得到三角形BMQ與三角形ABM相似,利用相似三角形的對應角相等得到一對角相等,利用ASA得到三角形ABM與三角形BCN全等,利用全等三角形對應邊相等即可得證;②是真命題,利用外角的性質得到夾角相等,利用SAS得到三角形ACM與三角形ABN全等,利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等,利用等式的性質變形即可得證.

試題解析:(1)∵△ABC為等邊三角形,∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,

在△ABM和△BCN中,∵BM=CN,∠ABM=∠BCN,AB=BC,∴△ABM≌△BCN(SAS),

∴∠BAM=∠CBN,∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°;

(2)①是;②是;

②的證明如下:

如圖,在△ACM和△BAN中,∵CM=AN,∠ACM=∠BAN=120°,AC=AB,

∴△ACM≌△BAN(SAS),∴∠AMC=∠BNA,

∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°,∴∠BQM=60°;

考點:1.全等三角形的判定與性質;2.等邊三角形的性質.

 

練習冊系列答案
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已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,則圖中相似的三角形有 對.

 

 

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(本題滿分12分)已知:如圖,△ABC內接于⊙O,AB為直徑,∠CBA的平分線交AC于點F,交⊙O于點D,DE⊥AB于點E,且交AC于點P,連接AD.

(1)求證:∠DAC=∠DBA;

(2)求證:P是線段AF的中點;

(3)連接CD,若CD=3,BD=4,求⊙O的半徑和DE的長.

 

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已知數據:2,,3,5,6,5,則這組數據的極差是 .

 

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下列說法中,正確的是( )

A.同一條弦所對的兩條弧一定是等弧

B.長度相等的兩條弧是等弧

C.正多邊形一定是軸對稱圖形

D.三角形的外心到三角形各邊的距離相等

 

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下邊左圖和右圖是兩張形狀、大小完全相同的方格紙,方格紙中的每個小正方形的邊長均為1,點A和點B在小正方形的頂點上.

(1)在左圖的小正方形頂點上找到一個點C,畫出△ABC,使△ABC為直角三角形;

(2)在右圖的小正方形頂點上找到一個點D,畫出△ABD,使△ABD為等腰三角形.

 

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如圖是一株美麗的勾股樹,其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面積分別為2,5,1,2.則最大的正方形E的面積是 .

 

 

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根據下面給出的數軸,解答下面的問題:

(注明:點B處在-3與-2所在點的正中間位置)

(1)請根據圖中A、B兩點的位置,分別寫出它們所表示的有理數A: 、

B: ;

(2)觀察數軸,與點A的距離為4的點表示的數是 ;

(3)若將數軸折疊,使得A點與-2表示的點重合,則B點與數 表示的點重合;

(4)若數軸上M、N兩點之間的距離為2014(M在N的左側),且M、N兩點經過同(3)中相同的折疊后互相重合, M、N兩點表示的數分別是M: 、N: .

 

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