Question

（1）學完全等三角形以后，老師布置了這樣一道題：如圖1，點M、N分別在等邊△ABC的BC、CA邊上，且BM=CN，AM、BN交于點Q．試說明：∠BQM=60°．

（2）小麗做完后，進行了反思，提出了許多問題，如：

①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？

②若將題中的點M、N分別移動到BC、CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？

請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：① ；② ．

并對②給出證明．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）① 是，②是，證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到三個角相等，三條邊相等，利用SAS得到三角形ABM與三角形BCN全等，利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等，利用外角性質及等量代換即可得證；

（2）①是真命題，條件與結論交換后，先利用兩對角相等的三角形相似得到三角形BMQ與三角形ABM相似，利用相似三角形的對應角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形ABM與三角形BCN全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；②是真命題，利用外角的性質得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACM與三角形ABN全等，利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等，利用等式的性質變形即可得證．

試題解析：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

在△ABM和△BCN中，∵BM=CN，∠ABM=∠BCN，AB=BC，∴△ABM≌△BCN（SAS），

∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；

（2）①是；②是；

②的證明如下：

如圖，在△ACM和△BAN中，∵CM=AN，∠ACM=∠BAN=120°，AC=AB，

∴△ACM≌△BAN（SAS），∴∠AMC=∠BNA，

∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°；

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．等邊三角形的性質．