Question

【題目】如圖，⊙O中，直徑CD垂直于弦AB，垂足為E，AM⊥BC于點M，交CD于N，連AD.

（1）求證：AD=AN；

（2）若AB=，ON=1，求⊙O的半徑；

（3）若且AE=4，求CM的長

Answer 1

【答案】（1）證明略 （2）3． （3）CM=2

【解析】試題分析：（1）利用同弧所對的圓周角相等，得出；利用等角的余角相等，得出，利用對頂角相等，等量代換，可得，利用等角對等邊，得證.（2）由垂徑定理得AE= , 利用NE=DE=x,則OE=x-1,AO=OD=r=2x-1，在 勾股定理，得出x=2,從而解得r=3；（3）由（1）得 ,得 ,相似三角形的面積比等于邊長比的平方，則 ,得出CM=2.

試題解析：

（1）

（2）∵AB=，AE⊥CD，∴AE=

又∵ON=1，∴設NE=x，則OE=x-1，NE=ED=x，

r=OD=OE+ED=2x-1

連結AO，則AO=OD=2x-1，
∵△AOE是直角三角形，AE=，OE=x-1，AO=2x-1，
∴

解得x=2，∴r=2x-1=3．

（3）∵AD=AN,AB⊥CD，∴AE平分ND，∴S△ANE=S△ADE

∵S△CMN：S△AND=1:8，∴S△CMN：S△ANE=1:4

又∵△CMN∽△AEN，∴

∵AE=4，∴CM=2