Question

如圖，P為半圓直徑AB上一動點，C為半圓中點，D為弧AC的三等分點，若AB=2，則PC+PD的最短距離為    ．

Answer 1

【答案】分析：要求PC+PD的最小值，應先確定點P的位置．作點C關于AB的對稱點E，連接DE交AB于點P，則P即是所求作的點，且PC+PD=DE．根據作法知：CE是直徑，弧CD的度數是30°，即∠CED=30°，根據三角函數即可求出PC+PD的最小值．
解答：解：設點C關于AB的對稱點為E，連接DE交AB于P，則此時PC+PD的值最小，且PC+PD=PE+PD=DE．
連接OC、OE；
∵C為半圓中點，D為弧AC的三等分點，
∴弧CD的度數為30°，∠CDE=90°；
∵AB=2，
∴CE=2；
∴DE=EC•cos∠CED=，
即PC+PD的最小值為 ．
故答案為：．
點評：此題主要考查了軸對稱-最短路線問題，難點是確定點P的位置：找點C或點D關于AB的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和AB的交點P就是所求作的位置．再根據弧的度數和圓心角的度數相等發現一個含30°角的直角三角形．