Question

如圖，AB為半圓直徑，AC⊥AB，BF⊥AB，BF=2，AB=3，CA=4，連接AF交半圓于D，連接CD，作DE⊥CD交直徑AB于E，則tan∠ACE=

1

12

．

Answer 1

分析：首先利用圓周角定理得出∠ADB=90°，進而得出△ADB∽△ABF，求出

BF

AB

=

BD

AD

=

2

3

，再利用已知得出∠1=∠2，即可得出△ACD∽BED，進而求出

BD

AD

=

BE

AC

=

2

3

，得出BE的長，即可求出AE的長，得出tan∠ACE的值即可．

解答：解：連接BD，
∵AB為半圓直徑，
∴∠ADB=90°，
∵BF⊥AB，
∴∠ABF=90°，
∵∠BAF=∠DAB，
∴△ADB∽△ABF，
∴

BF

AB

=

BD

AD

，
∵BF=2，AB=3，
∴

BF

AB

=

BD

AD

=

2

3

，
∵AB為半圓直徑，AC⊥AB，
∴∠4+∠FAB=90°，
∵∠3+∠DAB=90°，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠ADE=90°，∠2+∠ADE=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ACD∽BED，
∴

BD

AD

=

BE

AC

=

2

3

，
∵AC=4，
∴BE=

8

3

，
∴AE=3-

8

3

=

1

3

，
∴tan∠ACE=

1

12

．
故答案為：

1

12

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及圓周角定理和相似三角形的判定與性質，在綜合題中經常利用相似性解決有關圓的問題，同學們應有意識嘗試應用．