Question

7、如圖，AB為半圓直徑，D為AB上一點，分別在半圓上取點E、F，使EA=DA，FB=DB，過D作AB的垂線，交半圓于C．
求證：CD平分EF．

Answer 1

分析：為證明CD平分EF，想到可先證CD平分GH．為此添加CD的兩條平行線EG、FH，從而得到G、H兩點，從而利用射影定理可得DB²=FB²=AB•HB，AD²=AE²=AG•AB，兩式相減后可得出結論．

解答：證明：如圖，分別過點E、F作AB的垂線，G、H為垂足，連FA、EB．
易知：DB²=FB²=AB•HB，AD²=AE²=AG•AB．
二式相減得：DB²-AD²=AB•（HB-AG），
或（DB-AD）•AB=AB•（HB-AG）．
于是：DB-AD=HB-AG，或DB-HB=AD-AG．
∴DH=GD．
顯然，EG∥CD∥FH．
故CD平分EF．

點評：本題考查射影定理的知識及圓周角定理，難度較大，關鍵是掌握一些基本的知識，這是解答在綜合題目的基礎．