Question

（2004•宿遷）如圖1，已知⊙O₁、⊙O₂內切于點P，⊙O₁的弦AB交⊙O₂于C、D兩點，連接PA、PC、PD、PB，設PB與⊙O₂交于點E．
（Ⅰ）求證：PA•PE=PC•PD；
（Ⅱ）若將題中“⊙O₁、⊙O₂內切于點P”改為“⊙O₁、⊙O₂外切于點P”，其它條件不變，如圖2，那么（Ⅰ）中的結論是否成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要證的實際是△ADP和△CEP相似．連接CE，已知了∠CEP=∠ADP（圓周角定理），只需再找出一組相等的對應角即可．過P作兩圓的公切線，那么根據弦切角∠BPG在不同圓中對應的不同的圓周角可得出A=∠ECP，由此可證得兩三角形相似．即可得出要證的結論；
（2）結論仍成立，證法和（1）完全一樣．
（本題中也可通過證△ADP∽△CEP，來得出所求的結論．證法同上面的類似）．
解答：證明：（1）證法一：
過點P作⊙O₁、⊙O₂的公切線FG，連接CE．
在⊙O₁中，∠GPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPB=∠ECP，
∴∠A=∠ECP．
又∵∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC；
證法二：
過點P作⊙O₁、⊙O₂的公切線FG，
連接DE．
在⊙O₁中，∠GPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPB=∠EDP，
又∵四邊形CDEP為⊙O₂的內接四邊形，
∴∠ACP=∠DEP．
∴△ACP∽△DEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC；

（II）結論仍然成立．
證法一：
過點P作⊙O₁、⊙O₂的內公切線FG，
連接CE．
在⊙O₁中，∠FPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPE=∠PCE，
而∠GPE=∠FPB，
∴∠A=∠PCE．
又∵∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC；
證法二：
過點P作⊙O₁、⊙O₂的內公切線FG，
連接DE．
在⊙O₁中，∠FPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPE=∠PDE，
而∠GPE=∠FPB，
∴∠A=∠PDE．
又∵∠ACP=∠DEP，
∴△ACP∽△DEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC．
點評：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，圓與圓的位置關系，弦切角定理等知識點．
通過作兩圓的公切線來證與所求線段相關的三角形相似是解題的關鍵．