Question

已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于點D，點F為邊AB的中點，EF∥CD交BC于點E，則下列結論：
①AC=EF；②BC-AC=2CE；③EF=CE；④EF•AB=AD•BE；
其中一定成立的是（ ）

A．①②④
B．③④
C．①②③
D．①②

Answer 1

【答案】分析：過A作AM∥EF交BC延長線于M，求出AM=2EF，由勾股定理求出AM=AC，得出2EF=AC，即可判斷①；根據ME=BE，AC=CM求出BC-AC=2EM-MC=2EF，即可判斷②；過F作FN⊥BC于N，由勾股定理求出EF=EN=FN，即可判斷③；過D作DQ⊥AC于Q，證△AQD∽△ACB，推出=，推出=，得出=，證△BEF∽△BCD，推出=，即可判斷④．
解答：解：
過A作AM∥EF交BC延長線于M，
∵EF∥CD，
∴∠BEF=∠M=∠BCD，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∴∠M=∠BEF=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠CAM=∠M=45°，
∴MC=AC，
∵AM∥EF，F為AB中點，
∴E為BM中點，
∴AM=2EF，
由勾股定理得：AM=AC，
∴2EF=AC，
AC=EF，∴①正確；
∵ME=BE，AC=CM，
∴BC-AC=2EM-MC=2EF，∴②正確；
如圖，過F作FN⊥BC于N，

∵∠BEF=45°，
∴∠NEF=∠NFE=45°，
∴EN=FN，
由勾股定理得：EF=EN=FN，根據已知不能推出CE=EN，∴③錯誤；
如圖

過D作DQ⊥AC于Q，
則∠AQD=∠CQD=∠ACB=90°，DQ∥BC，
∴△AQD∽△ACB，
∴=，
∵∠CQD=90°，∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠CDQ=45°，
∴CQ=DQ，由勾股定理得：DQ=CD，
∴=，
∴=，
=，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴=，
∴=，
∴EF•AB=AD•BE，∴④正確；
故選A．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，等腰直角三角形，勾股定理的應用，注意：相似三角形的對應邊的比相等，有兩個角對應相等的兩三角形相似．