Question

9．如圖，在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點C，若AC•AB=12，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接CD，如圖，利用圓周角定理得到∠CAD+∠D=90°，再∠D=∠PBA，加上∠PAC=∠PBA，所以∠PAD=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）證明△ACG∽△ABC，再利用相似比得到AC²=AG•AB=12，從而得到AC=2$\sqrt{3}$．

解答 （1）證明：連接CD，如圖，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠PAC=∠PBA，
∠D=∠PBA，
∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，
∴PA⊥AD，
∴PA是⊙O的切線；
（2）解：∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，
∴∠ACF=∠D，
∴∠ACF=∠B，
而∠CAG=∠BAC，
∴△ACG∽△ABC，
∴AC：AB=AG：AC，
∴AC²=AG•AB=12，
∴AC=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了圓周角定理．