Question

2．如圖，AB=2，BC=5，AB⊥BC于點B，直線l⊥BC于C，點P自點B開始沿射線BC移動，過點P作PQ⊥AP交l于點Q．
（1）在題目給出的圖形中證明∠A=∠QPC；
（2）當點P在射線上運動到何處時，PA=PQ？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形的兩內角互余以及∠A+∠APB=90°，根據同角的余角相等，即可證得；
（2）P運動到離C處距離為2時，PA=PQ，此時易證△ABP≌△PCQ，即可證得．

解答 （1）證明：∵PQ⊥AP，
∴∠ABP=90°
∴∠APB+∠QPC=90°，
∵AB⊥BC于點B，
∴∠A+∠APB=90°，
∴∠A=∠QPC；

（2）解：當P運動到離C處距離為2時，PA=PQ，

證明：當PC=2時，PC=AB，
在△ABP與△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠PCQ}\\{PC=AB}\\{∠A=∠QPC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PCQ（ASA），
∴PA=PQ；
同理，BP=7時，PC=2也符合，

所以，點P運動到與點C距離為2時，PA=PQ．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質以及余角的性質：同角的余角相等，正確證明∠A=∠QPC是關鍵．