Question

18．如圖，在△ABC中，AB＞AC，在邊AB上，取點D，在AC上取點E，使AD=AE，直線DE和BC的延長線交于點P．
求證：BP•CE=BD•CP．

Answer 1

分析 如圖，過點B作BF∥AC交PD延長線于點F．則△PCE∽△PBF，所以該相似三角形的對應邊成比例，即$\frac{BF}{CE}=\frac{BP}{CP}$，根據平行線的性質，等腰三角形的性質以及對頂角的定義得BF=BD．則$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CE}$，等量代換得到BP：CP=BD：CE，即可得到結論．

解答 證明：如圖，過點B作BF∥AC交PD延長線于點F．則△PCE∽△PBF，
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{BP}{CP}$，
∵BF∥AC，
∴∠1=∠2．
又∵AD=AE，
∴∠2=∠4，
∠1=∠3=∠4，
∴BF=BD．
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CE}$，
∴BP：CP=BD：CE，
∴BP•CE=BD•CP．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質．尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．