Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD丄PA，垂足為D．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據題意可證得∠CAD+∠DCA=90°，再根據角平分線的性質，得∠DCO=90°，則CD為⊙O的切線；
（2）過O作OF⊥AB，則OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四邊形OCDF為矩形，設AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x）²+（6-x）²=25，從而求得x的值，由勾股定理得出AB的長．
解答：（1）證明：連接OC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AC平分∠PAE
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC=∠OCA
∴PB∥OC
∵CD⊥PA
∴CD⊥OC，CO為⊙O半徑，
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：過O作OF⊥AB，垂足為F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四邊形DCOF為矩形，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
設AD=x，則OF=CD=6-x，
∵⊙O的直徑為10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF²+OF²=OA²．
即（5-x）²+（6-x）²=25，
化簡得x²-11x+18=0，
解得x₁=2，x₂=9．
∵CD=6-x大于0，故x=9舍去，
∴x=2，
從而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F為AB的中點，
∴AB=2AF=6．
點評：本題考查了切線的判定和性質、勾股定理、矩形的判定和性質以及垂徑定理，是基礎知識要熟練掌握．