Question

規定：正整數n的“H運算”是①當n為奇數時，H=3n+13；②當n為偶數時，H=n×（其中H為奇數）．
如：數3經過1次“H運算”的結果是22，經過2次“H運算”的結果是11，經過3次“H運算”的結果是46．
請解答：（1）數257經過257次“H運算”得到的結果．
（2）若“H運算”②的結果總是常數a，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）按照①②運算一次一次的輸入，得出它們的結果，從中發現規律，從第10次開始偶數次等于1，奇數次等于16．從而求數257經過257次“H運算”得到的結果．
（2）對a的值分析可得a一定是個奇數，然后按照運算①計算，并變成冪的形式即可得a的值．
解答：解：（1）1次=3×257+13=784
2次=784×0.5×0.5×0.5×0.5=49
3次=3×49+13=160
4次=160×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=5
5次=3×5+13=28
6次=28×0.5×0.5=7
7次=3×7+13=34
8次=34×0.5=17
9次=3×17+13=64
10次=64×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=1
11次=3×1+13=16
12次=16×0.5×0.5×0.5×0.5=1=第10次
所以從第10次開始
偶數次等于1
奇數次等于16
257是奇數
所以第257次是16．
（2）若對一個正整數進行若干次“H操作”后出現循環，
此時‘H’運算的結果總是A，則A一定是個奇數．
那么，對A進行H運算的結果A×3+13是偶數，再對A×3+13進行“H運算”，即：
A×3+13乘以的結果仍是A
于是（A×3+13）×=A
也即A×3+13=A×2^k
即A（2^k-3）=13=1×13
因為A是正整數
所以2^k-3=1或2^k-3=13
解得k=2或k=4
當k=2時，A=13；
當k=4時，A=1，
所以A為1或13．
點評：本題難度較大，考出了學生的水平，學生一定要仔細應對．