Question

19．如圖，在平面直角坐標系第一象限中，當m，n為正整數時：

將反比例函數y_n=$\frac{n}{x}$圖象上橫坐標為m的點叫做“雙曲格點”，記作A_[m，n]，例如，點A_[3，2]表示y₂=$\frac{2}{x}$圖象上橫坐標為3的點，故點A_[3，2]的坐標為（3，$\frac{2}{3}$）．
把y_n=$\frac{n}{x}$的圖象沿著y軸平移或以平行于x軸的直線為對稱軸進行翻折，將得到的函數圖象叫做它的“派生曲線”，例如，圖中的曲線f是y₁=$\frac{1}{x}$圖象的一條“派生曲線”．
（1）①“雙曲格點”A_[2，1]的坐標為（2，$\frac{1}{2}$）；
②若線段A_[4，3]A_[4，n]的長為1，則n=7．
（2）若“雙曲格點”A_[m，2]，A_{[m+4，m]}的縱坐標之和為1，求線段A_[m，2]，A_[m+4，m]的長；
（3）圖中的曲線f是y₁=$\frac{1}{x}$圖象的一條“派生曲線”，且經過點A_[2，3]，則f的函數表達式為y=$\frac{1}{x}$+1；
（4）已知y₃=$\frac{3}{x}$圖象的“派生曲線”g經過“雙曲格點”A_[3，3]，且不與y₃=$\frac{3}{x}$的圖象重合，試在圖中畫出g的位置（先描點，再連線）

Answer 1

分析 （1）①根據A_[2，1]表示y₂=$\frac{1}{x}$圖象上橫坐標為2的點，即可解決問題．
②根據兩點間距離公式即可解決問題．
（2）列出方程即可解決問題．
（3）由題意曲線f是y₁=$\frac{1}{x}$圖象的向上平移所得，設向上平移a個單位，曲線f解析式為y=$\frac{1}{x}$+a，把（2，$\frac{3}{2}$）代入即可．
（4）由題意y₃=$\frac{3}{x}$圖象的“派生曲線”g是由y=$\frac{3}{x}$沿直線y=1翻折得到，由此不能畫出圖象．

解答 解：（1）①∵A_[2，1]表示y₂=$\frac{1}{x}$圖象上橫坐標為2的點，
∴A_[2，1]的坐標為（2，$\frac{1}{2}$）．
②由題意|$\frac{3}{4}$-$\frac{n}{4}$|=1，
∵n是正整數，
∴n=7，
故答案為（2，$\frac{1}{2}$），7．

（2）由題意A_[m，2]的坐標為（m，$\frac{2}{m}$）A_[m+4，m]的坐標為（m+4，$\frac{m}{m+4}$），
∴$\frac{2}{m}$+$\frac{m}{m+4}$=1，
解得m=4，
經檢驗，m=4是分式方程的解．
∴A_[4，2]的坐標為（4，$\frac{1}{2}$）A_[8，4]的坐標為（8，$\frac{1}{2}$），
∴線段A_[m，2]A_[m+4，m]的長為8-4=4．

（3）∵曲線f是y₁=$\frac{1}{x}$圖象的一條“派生曲線”，且經過點A_[2，3]，
∴曲線f是y₁=$\frac{1}{x}$圖象的向上平移所得，設向上平移a個單位，
∴曲線f解析式為y=$\frac{1}{x}$+a，把（2，$\frac{3}{2}$）代入得到，a=1，
∴f的函數表達式為y=$\frac{1}{x}$+1．

（4）∵y₃=$\frac{3}{x}$圖象的“派生曲線”g經過“雙曲格點”A_[3，3]，且不與y₃=$\frac{3}{x}$的圖象重合，
∴y₃=$\frac{3}{x}$圖象的“派生曲線”g是由y=$\frac{3}{x}$沿直線y=1翻折得到，
∴y₃=$\frac{3}{x}$圖象的“派生曲線”g經過A_[2，1]，A_[4，5]，
∴y₃=$\frac{3}{x}$圖象的“派生曲線”g的圖象如圖所示，

點評 本題考查反比例函數綜合題，解題的關鍵是理解題意，學會用方程的思想思考問題，屬于中考創新題目．