Question

設n為正整數，m=12n．已知m的約數個數是n的約數個數的2倍，則符合這種情形的最小的n是（　　）位數．

A、1

B、2

C、3

D、不小于4

Answer 1

分析：假設n=2^a₁×3^a₂×（k₃）^a₃×…（k_p）^a_p，則n的約數個數為（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），根據m=12n，則m約數個數為（3+a₁）（2+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），在由m的約數個數是n的約數個數的2倍，即可求出風和這種情形的最小的n值．

解答：解：假設n=2^a₁×3^a₂×（k₃）^a₃×…（k_p）^a_p，
則n的約數個數為（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），
m=n×2²×3，則m約數個數為（3+a₁）（2+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），
所以（3+a₁）（2+a₂）=2（1+a₁）（1+a₂），
化簡得a₂（a₁-1）=4，
則a₂=1或2或4，則n最小值為2^a₁×3^a₂，代進去，求得最小值為2³×3²=72，
故選B．

點評：本題考查整數問題的綜合運用，解題關鍵是設出n=2^a₁×3^a₂×（k₃）^a₃×…（k_p）^a_p，難度較大．