Question

4．如圖1，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，D，C，B在一條直線上，F，G分別是BE，AD的中點，
（1）求證：BE=AD；
（2）求∠CFG的度數；
（3）將圖1中的△CED繞點C旋轉至圖2的位置，請完成作圖，并求出∠CFG的度數．

Answer 1

分析 （1）由SAS證得△ACD≌△BCE，即可得出結論；
（2）連接CG，由（1）與F，G分別是BE，AD的中點，得出AG=BF，∠CAG=∠CBF，由SAS證得△AGC≌△BFC，得出CG=CF，∠BCF=∠ACG，求得∠GCF=90°，得出△GCF為等腰直角三角形即可得出結果；
（3）連接CG，由SAS證得△ACD≌△BCE，得出BE=AD，AG=BF，∠CAG=∠CBF，由SAS證得AGC≌△BFC（SAS得出CG=CF，∠BCF=∠ACG，求得∠GCF=90°，得出△GCF為等腰直角三角形即可得出結果．

解答 （1）證明：在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACB=∠DCE=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；
（2）解：連接CG，如圖1所示：
∵F，G分別是BE，AD的中點，
∴AG=$\frac{1}{2}$AD，BF=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE=AD，
∴AG=BF，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAG=∠CBF，
在△AGC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠CAG=∠CBF}\\{AG=BF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△BFC（SAS），
∴CG=CF，∠BCF=∠ACG，
∵∠BCF+∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠ACG+∠ECF=90°，
即∠GCF=90°，
∴△GCF為等腰直角三角形，
∴∠CFG=45°；
（3）解：連接CG，如圖2所示：
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE=90°-∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，
∵F，G分別是BE，AD的中點，
∴AG=BF，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAG=∠CBF，
在△AGC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠CAG=∠CBF}\\{AG=BF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△BFC（SAS），
∴CG=CF，∠BCF=∠ACG，
∵∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠ACG+∠ACF=90°，
即∠GCF=90°，
∴△GCF為等腰直角三角形，
∴∠CFG=45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、旋轉的性質、線段的中點的性質等知識；難度較大，特別是（2）、（3）中，需作輔助線并多次證明三角形全等才能得出結果．