Question

如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC．過點C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點．

（1）求證：CF為⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為cm，弦BD的長為3cm，求CF的長．

Answer 1

【考點】切線的判定．

【專題】證明題．

【分析】（1）連結OC，如圖，由于∠A=∠OCA，則根據三角形外角性質得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根據平行線的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根據切線的判定定理得CF為⊙O的切線；

（2）解：作OH⊥BD于H，如圖，根據垂徑定理得到BH=DH=BD=，在Rt△OBH中可利用勾股定理計算出OH=2，易得四邊形OHEC為矩形，則CE=OH=2，HE=OC=，BE=1，然后證明△FBE∽△FOC，利用相似比可計算出CF．

【解答】（1）證明：連結OC，如圖，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA，

∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，

∵∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABD=∠BOC，

∴OC∥BD，

∵CE⊥BD，

∴OC⊥CE，

∴CF為⊙O的切線；

（2）解：作OH⊥BD于H，如圖，

則BH=DH=BD=，

在Rt△OBH中，∵OB=，BH=，

∴OH==2，

易得四邊形OHEC為矩形，

∴CE=OH=2，HE=OC=，

∴BE=NE﹣BH=1，

∵BE∥OC，

∴△FBE∽△FOC，

∴=，即=，

∴CF=．

【點評】本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質．