Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分別是AB、CD的中點，P是AD上一點，∠PFB=3∠FBC，則線段PD的長度$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 如圖，連接AF．首先證明PA=PF，設PA=PF=x，在Rt△PDF中，利用勾股定理，構建方程即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AF．

∵四邊形ABCD是矩形，AE=EB，DF=FC，
∴四邊形AEFD、四邊形BCFE都是矩形，
∴∠AEF=90°，
∴EF⊥AB，∵AE=EB，
∴FA=FB，∠AFE=∠EFB，
∵EF∥BC∥AD，
∴∠EFB=∠FBC，∠DAF=∠AFE，
∵∠PFB=3∠FBC，
∴∠PFA=∠PAF，
∴PA=PF，設PA=PF=x，
在Rt△PDF中，∵PF²=PD²+DF²，
∴x²=（3-x）²+1²，
∴x=$\frac{5}{3}$，
∴PD=3-x=$\frac{4}{3}$，
故答案為$\frac{4}{3}$

點評 本題考查矩形的性質、等腰三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是證明△PAF是等腰三角形，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．