Question

20．如圖，AD、EC是正五邊形ABCDE的兩條對角線，則$\frac{EF}{FC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 在正五邊形ABCDE中，設EF=x，CF=y，首先證明CD=DE=CF=y，由△EDF∽△ECD，推出$\frac{DE}{EC}$=$\frac{EF}{ED}$，推出y²=x（x+y），即x²+xy-y²=0，即（$\frac{x}{y}$）²+（$\frac{x}{y}$）-1=0，解方程即可解決問題．

解答 解：在正五邊形ABCDE中，設EF=x，CF=y，
∵∠EDA=∠EAD=∠DEC=∠DCE=36°，
∴∠CDF=∠CFD=72°，
∴CD=DE=CF=y，
又∵∠DEF=∠DEC，
∴△EDF∽△ECD，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{EF}{ED}$，
∴y²=x（x+y），
∴x²+xy-y²=0，
∴（$\frac{x}{y}$）²+（$\frac{x}{y}$）-1=0，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍棄），
∴$\frac{EF}{FC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$；

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、正五邊形等知識，具體的規(guī)劃是學會用參數解決問題，把問題轉化為方程解決，屬于中考常考題型，體現了數形結合的思想．