Question

12．如圖，I是△ABC的內心，AI的延長線與△ABC的外接圓相交于點D，與BC交于點E，連接BI、CI、BD、DC．下列說法中正確的有（　　）
①∠CAD繞點A順時針旋轉一定的角度一定能與∠DAB重合；
②I到△ABC三個頂點的距離相等；③∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；
④線段DI是線段DE與DA的比例中項；⑤點D是△BIC的外心．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①根據I是內心，即角平分線的交點，則AI平分∠BAC，所以∠CAD=∠DAB，由此得出：∠CAD繞點A順時針旋轉一定的角度一定能與∠DAB重合；
②I是內心，到三邊的距離相等；
③先根據角平分線定義得：∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACI=$\frac{1}{2}$∠ACB，根據三角形內角和得：∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，所以$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，則∠ABI+∠ACI=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，最后利用外角定理可以表示∠BIC的度數=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；
④證明△ADC∽△CDE，得DC²=DE•AD，再證明DC=DI，所以說法正確；
⑤根據等角對等邊證明DB=DC，由④得：DC=DI，得DB=DC=DI，則點D是△BIC的外心．

解答 解：①∵I是△ABC的內心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD繞點A順時針旋轉一定的角度一定能與∠DAB重合；
所以此選項說法正確；
②∵I是△ABC的內心，
∴I是△ABC三個角平分線的交點，
∴I到△ABC三邊的距離相等，
所以此選項說法不正確；
③∵I是內心，
∴BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACI=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠BIE=∠ABI+∠BAI，∠EIC=∠DAC+∠ACI，
∴∠BIC=∠BIE+∠EIC=∠ABI+∠BAI+∠DAC+∠ACI，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ABI+∠ACI=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BIC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC+∠BAC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
所以此選項說法正確；
④∵∠DCB=∠BAD，∠BAD=∠DAC，
∴∠DCB=∠DAC，
∵∠ADC=∠ADC，
∴△ADC∽△CDE，
∴$\frac{DC}{DE}=\frac{AD}{DC}$，
∴DC²=DE•AD，
∵∠DIC=∠DAC+∠ACI，∠DCI=∠ICB+∠DCB，
∵IC平分∠ACB，
∴∠ACI=∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DC=DI，
∴DI²=DE•AD，
∴線段DI是線段DE與DA的比例中項；
所以此選項說法正確；
⑤∵∠BAD=∠DAC，∠BAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC，
由④得：DC=DI，
∴DB=DC=DI，
∴點D是△BIC的外心；
所以此選項說法正確；
所以說法正確的有：①③④⑤；
故選D．

點評 本題考查了三角形的內心、外心、旋轉的性質、比例線段等，應用的知識點較多，首先要明確內心是角平分線的交點，三角形內切圓的圓心，它到三角形三邊的距離相等；外心是三邊垂直平分線的交點，三角形外接圓的圓心，反之，到三角形三個頂點距離相等的點就是三角形的外心，做好本題要熟練掌握與圓有關的性質和定理．