Question

如圖，在△ABC中，∠B=60°，角平分線AK，CE的交點(diǎn)為O．求證：OK=OE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：過O作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分別為M、N，由條件可知O在∠B的平分線上，結(jié)合條件可求得∠EOK=∠MON=120°，可得到∠EOM=∠NOK，可證明△EOM≌△KON，可證明OK=OE．

解答： 證明：如圖，過O作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分別為M、N，
∵AK、CE為角平分線，
∴點(diǎn)O在∠B的平分線上，
∴OM=ON，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°，
∵AK平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠BAC=2∠OAC，∠BCA=2∠OCA，
∴∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠EOK=120°，
在四邊形BMON中，∠B=60°，∠BMO=∠BNO=90°，
∴∠MON=120°，
∴∠EOM=∠NOK
在△EOM和△KON中，

∠EOM=∠KON OM=ON ∠OME=∠ONK

，
∴△EOM≌△KON（ASA），
∴OK=OE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，作兩邊的垂線構(gòu)造條件證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，注意角平分線性質(zhì)、三角形四邊形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．