Question

20．在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P為直線AC上一點，過點A作AD⊥BP于點D，交直線BC于點Q．

（1）如圖1，當P在線段AC上時，求證：BP=AQ；
（2）如圖2，當P在線段CA的延長線上時，（1）中的結論是否成立？成立（填“成立”或“不成立”）
（3）在（2）的條件下，當∠DBA=22.5°度時，存在AQ=2BD，說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據內角和定理得出∠DAP=∠CBP，進而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案；
（2）延長BA交PQ于H，由于∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，得到∠CAQ=∠DBQ，推出△AQC≌△BPC（ASA）即可得出結論；
（3）當∠DBA=22.5°時，存在AQ=2BD，根據等腰三角形的性質得到BP=2BD，通過△PBC≌△ACQ，根據全等三角形的性質即可得到結論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中$\left\{\begin{array}{l}{∠QCA=∠P∠CB}\\{CA=CB}\\{∠CAQ=∠CBP}\end{array}\right.$
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ；

（2）成立，
理由：延長BA交PQ于H，
∵∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，
∴∠CAQ=∠DBQ，
在△AQC和△BPC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACQ=∠BCP}\\{CA=CB}\\{∠CAQ=∠BCP}\end{array}\right.$
∴△AQC≌△BPC（ASA），
∴AQ=BP，
故答案為：成立；
（3）當∠DBA=22.5°時，存在AQ=2BD，
理由：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，
∴∠PBA=∠APB=22.5°，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴BP=2BD，
在△PBC與△QAC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPC=∠AQC}\\{BC=AC}\\{∠PCB=∠ACQ}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△ACQ，
∴AQ=PB，
∴AQ=2BD．
故答案為：22.5°

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形性質和三角形內角和定理等知識，根據題意得出全等三角形是解題關鍵．