Question

8．如圖，拋物線頂點坐標為點C（2，8），交x軸于點A （6，0），交y軸于點B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）點Q （x，0）是線段OA上的一動點，過Q點作x軸的垂線，交拋物線于P點，交直線BA于D點，求PD與x之間的函數關系式并求出PD的最大值；
（3）x軸上是否存在一點Q，過點Q作x軸的垂線，交拋物線于P點，交直線BA于D點，使以PD為直徑的圓與y軸相切？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數法求出拋物線解析式，進而得出點B坐標，再用待定系數法求出直線AB解析式；
（2）借助（1）的結論，先建立PD與x的函數關系式，即可確定出最大值；
（3）借助（2）的結論，利用圓心到y軸的距離等于半徑即可建立方程，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）∵拋物線頂點坐標為點C（2，8），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+8，
∵點A在拋物線上，
∴a（6-2）²+8=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，
∴B（0，6），
∵A （6，0），
∴直線AB的解析式為y=-x+6；
（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，直線AB的解析式為y=-x+6；
∵Q點作x軸，Q （x，0），
∴P（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x+6），D（x，-x+6），
∴PD=|-$\frac{1}{2}$x²+2x+6-（-x+6）|=|-$\frac{1}{2}$x²+3x|，
∵Q （x，0）是線段OA上的一動點，
∴0≤x≤6，
∴PD=-$\frac{1}{2}$x²+3x=-$\frac{1}{2}$（x²-6x）=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
∴當x=3時，PD最大，最大值是$\frac{9}{2}$，
（3）由（2）知，P（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x+6），D（x，-x+6），
∴以PD為直徑的圓的圓心的橫坐標為x，
由（2）知，PD=|-$\frac{1}{2}$x²+3x|，
∵以PD為直徑的圓與y軸相切，
∴|x|=$\frac{1}{2}$|-$\frac{1}{2}$x²+3x|，
∴x=0（舍）或x=2或x=10，
∴Q（2，0）或（10，0）．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，平行于坐標軸上的直線上兩點間的距離，函數的極值，解絕對值方程，建立PD與x的函數關系式是解本題的關鍵．