Question

4．如圖，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，點D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點P，則下列結(jié)論
（1）△AOD≌△COE；（2）OE=OD；（3）△EOP∽△CDP．
其中正確的結(jié)論是（　　）

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，以及直角三角形斜邊中線定理首先證明△AOD≌△COE（ASA），推出OE=OD，∠OED=∠PCD=45°即可解決問題．

解答 解：∵在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，
∴∠A=∠B=∠ACO=45°，OA=OC=OB，∠AOC=90°=∠DOE，
∴∠AOD=∠COE=90°-∠DOC，
在△AOD與△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCE}\\{OA=OC}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，故①②正確，
∵∠EOD=90°，
∴∠OED=45°，
∵∠ACB=90°，BC=AC，OB=OA，
∴∠PCD=∠PCE=45°，
∴∠OEP=∠DCP，∵∠EPO=∠CPD，
∴△△EOP∽△CDP，故③正確，
故選D．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形的條件，以及三角形相似的條件，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．