Question

19．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C，D，E在同一條直角形上，連接B、D和B，E，下列四個結(jié)論：
①BD=CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC=30°
④BE²=2（AD²+AB²）
其中，正確的個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結(jié)論；
②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出結(jié)論；
③由條件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出結(jié)論；
④△BDE為直角三角形就可以得出BE²=BD²+DE²，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE²=2AD²，BC²=2AB²，就有BC²=BD²+CD²≠BD²就可以得出結(jié)論．

解答 解：①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE．故①正確；

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°．
∴BD⊥CE；故②正確；

③∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，故③錯誤；

④∵BD⊥CE，
∴BE²=BD²+DE²．
∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴DE²=2AD²，BC²=2AB²．
∵BC²=BD²+CD²≠BD²，
∴2AB²=BD²+CD²≠BD²，
∴BE²≠2（AD²+AB²）．故④錯誤，
故選：B．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，垂直的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，能利用全等三角形的性質(zhì)和判定求解是解此題的關(guān)鍵．