Question

8．如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A（m，0），B（n，0）且m、n滿足|m+2|+$\sqrt{5-n}$=0，現同時將點A，B分別向上平移3個單位，再向右平移2個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD，CD．
（1）求點C，D的坐標及四邊形OBDC的面積；
（2）如圖2，點P是線段BD上的一個動點，連接PC，PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合），試探究∠DCP，∠BOP與∠CPO的數量關系，并說明理由；
（3）在四邊形OBDC內是否存在一點P，連接PO，PB，PC，PD，使S_△PCD=S_△PBD；S_△POB：S_△POC=5：6，若存在這樣一點，求出點P的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據非負數的性質得到m=-2，n=5，求得A（-2，0），B（5，0），根據平移的性質得到點C（0，3），D（7，3），即可得到結果；
（2）過點P作PE∥CD，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DCP=∠CPE，根據平行公理可得PE∥AB，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BOP=∠OPE，然后求出∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，再求出∠DCP，∠BOP與∠CPO的數量關系即可；
（3）過P作PM⊥OB于M，并反向延長交CD于N，設P（x，y），根據S_△POB：S_△POC=5：6，于是得到x=2y；由于S_△PCD=S_△PBD，于是得到$\frac{1}{2}$×7•（3-y）=18-$\frac{1}{2}$×7（3-y）-$\frac{1}{2}$×3x-$\frac{1}{2}$×5y，最后解方程組即可得到結論．

解答 解：（1）|m+2|+$\sqrt{5-n}$=0，
∴m=-2，n=5，
∴A（-2，0），B（5，0），
∵點A，B分別向上平移3個單位，再向右平移2個單位，
∴C（0，3），D（7，2）；
∵OB=5，
∴S_{四邊形OBDC}=$\frac{1}{2}$（5+7）×3=18；

（2）∠DCP+∠BOP=∠CPO．
理由：由平移的性質可得AB∥CD，
如圖2，過點P作PE∥AB，則PE∥CD，
∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，
∴∠DCP，∠BOP與∠CPO的數量關系為：∠DCP+∠BOP=∠CPO；

（3）存在，
如圖3，過P作PM⊥OB于M，交CD于N，
∵CD∥OB，
∴PN⊥CD，
設P（x，y），
∵S_△POB：S_△POC=5：6，
∴5×$\frac{1}{2}$×3x=6×$\frac{1}{2}$×5y，
∴x=2y，①
∵S_△PCD=S_△PBD，
∴$\frac{1}{2}$×7•（3-y）=18-$\frac{1}{2}$×7（3-y）-$\frac{1}{2}$×3x-$\frac{1}{2}$×5y，②
由①、②解得x=4，y=2，
∴P（4，2），即P在四邊形OBDC內，
故在四邊形OBDC內存在點P（4，2），使S_△PCD=S_△PBD；S_△POB：S_△POC=5：6．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了坐標與圖形性質，平行線的性質，三角形的面積，坐標與圖形變化-平移，作輔助線構造平行線和垂線是解題的關鍵．