Question

已知直線L：y=kx+b（k≠0，b為負數）與x軸、y軸的交點分別為A，B兩點，其中A，B與坐標原點O圍成的三角形面積等于12，且直線L與正比例函數y=3x平行．若直線L與一次函數y=4x+1相交于一點C．
（1）求出直線L的解析式；     
（2）求△OAC的面積；
（3）利用圖象試求：當x為何值時，不等式4x+1＜3x-6．

Answer 1

分析：（1）根據平行直線的解析式的k值相等求出k=3，然后求出點A、B的坐標，從而得到OA、OB的長，再根據△AOB的面積列式求出b值，從而得解；
（2）聯立兩直線解析式求出交點C的坐標，然后求出點C到AB的距離，再根據三角形的面積列式進行計算即可得解；
（3）利用兩點法作出函數圖象，然后根據上方的圖象的函數值比下方的圖象的函數值的大解答．

解答：解：（1）∵直線L與正比例函數y=3x平行，
∴k=3，
∴直線L為y=3x+b，
點A（-

b

3

，0），B（0，b），
S_△AOB=

1

2

|-

b

3

|•|-b|=12，
整理得，b²=72，
解得b₁=6

2

（舍去），b₂=-6

2

，
所以，直線L的解析式為y=3x-6

2

；

（2）聯立

y=3x-6 2 y=4x+1

，
解得

x=-6 2 -1 y=-24 2 -3

，
所以，點C（-6

2

-1，-24

2

-3），
OA=-

1

3

×（-6

2

）=2

2

，
所以，S_△OAC=

1

2

×2

2

×（24

2

+3）=48+3

2

；

（3）聯立

y=4x+1 y=3x-6

，
解得

x=-7 y=-27

，
所以交點坐標為（-7，-27），
由圖可知，x＜-7時，不等式4x+1＜3x-6．

點評：本題考查了兩直線平行或相交的問題，主要利用了平行直線的解析式的k值相等，聯立兩函數解析式求交點坐標，應熟練掌握并靈活運用．