Question

如圖，已知直線l：y=kx+2，k＜0，與y軸交于點A，與x軸交于點B，以OA為直徑的⊙P交l于另一點D，把弧AD沿直線l翻轉后與OA交于點E．
（1）當k=-2時，求OE的長；
（2）是否存在實數k，k＜0，使沿直線l把弧AD翻轉后所得的弧與OA相切？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）知道了k的值也就知道了直線l的解析式，那么A，B的坐標也就可以求出了，這樣就知道了OA，OB的長，運用勾股定理就能求出AB的長．三角形EDO中，∠ADE=∠AOD那么ODE就是個等腰三角形，如果點D作DC⊥AO于點C，OC=

1

2

OE，那么求出OC就能求出OE，因為DC，OB同時垂直OA，因此DC∥OB，根據平行線分線段成比例定理，可得出OC，BD，OA，AB的比例關系式，已知了OA，AB的值，那么可得出OC，BD的比例關系，那么求BD的長就是解題的關鍵所在，根據切割線定理，OB²=BD•BA，據此可求出BD的長，那么就可以求出OC和OE的長了．
（2）要使沿直線l把弧AD翻轉后所得的弧與OA相切，那么切點就應該是A，那么E點就和A點重合了，根據（1）可知道OD=DA（OD=DE），又可知∠ADO=90°，那么OA=OB，根據直線的函數式我們知道A為（0，2），因此B就是（2，0）然后根據這兩點判斷出此時k的取值即可．

解答：解：（1）如圖所示，
由∠DEO=∠EAD+∠ADE=

1

2

弧AED的度數=

1

2

弧AmD的度數=∠AOD，
∴OD=DE，
當k=-2時，易得A（0，2），B（1，0），OA=2，OB=1，則AB=

5

，
∵BO與⊙P切于點O，
∴OB²=BD•AB?BD=

5

5

，
過點D作DC⊥AO于點C，
∵DE=DO，
∴OE=2OC，DC∥OB，
從而，有

OC

OA

=

BD

BA

?

OC

2

=

5 5

5

?OC=

2

5

，
故OE=

4

5

．

（2）假設存在實數k使得弧AD沿直線l翻轉后所得弧與OA相切，則切點必為A，即E與A重合，由（1）知OD=AD．
又因為∠ADO=90°，所以∠OAD=45°，
此時，OB=OA=2，B（2，0），
∴k=-1，
故存在k=-1，使得弧AD沿直l翻轉后所得弧與OA相切．

點評：本題結合一次函數考查了圓在坐標系的變換情況．