Question

如圖，在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過網格的交點A、B、C．

（1）請完成如下操作：

①以點O為原點、豎直和水平方向所在的直線為坐標軸、網格邊長為單位長，建立平面直角坐標系；②用直尺和圓規畫出該圓弧所在圓的圓心D的位置（不用寫作法，保留作圖痕跡），并連結AD、CD．（此小問為了解問，可不做）

（2）請在（1）的基礎上，完成下列問題：

①寫出點的坐標：C 、D ；

②⊙D的半徑= （結果保留根號）；

③若E（7,0），試判斷直線EC與⊙D的位置關系并說明你的理由．

Answer 1

（1）作圖見解析；（2）C（6，2），D（2，0）；2；CE與圓D相切．

【解析】

試題分析：（1）根據題意建立平面直角坐標系，然后作出弦AB的垂直平分線，以及BC的垂直平分線，兩直線的交點即為圓心D，連接AD，CD；

（2）①根據第一問畫出的圖形即可得出C及D的坐標；

②在直角三角形AOD中，由OA及OD的長，利用勾股定理求出AD的長，即為圓O的半徑；

③直線CE與圓O的位置關系是相切，理由為：由圓的半徑得出DC的長，在直角三角形CEF中，由CF及FE的長，利用勾股定理求出CE的長，再由DE的長，利用勾股定理的逆定理得出三角形DCE為直角三角形，即EC垂直于DC，可得出直線CE為圓O的切線．

試題解析：（1）根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：

（2）①根據圖形得：C（6，2），D（2，0）；

②在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，

根據勾股定理得：AD=

=2，

則⊙D的半徑為2；

③直線EC與⊙D的位置關系為相切，理由為：

在Rt△CEF中，CF=2，EF=1，

根據勾股定理得：CE=，

在△CDE中，CD=2，CE=，DE=5，

∵CE2+CD2=（）2+（2）2=5+20=25，DE2=25，

∴CE2+CD2=DE2，

∴△CDE為直角三角形，即∠DCE=90°，

∴CE⊥DC，

則CE與圓D相切．

考點：1．直線與圓的位置關系；2．坐標與圖形性質；3．勾股定理；4．垂徑定理．