Question

如圖，CD是∠ACB的平分線，EF⊥CD于H，交AC于F，交BC于G．
求證：①∠CFG=∠CGF；
②∠CFE=

1

2

（∠BAC+∠ABC）．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的性質以及全等三角形的判定得出△CFH≌△CGH，進而得出∠CFG=∠CGF；
（2）根據外角的性質以及（1）中結論得出∠BAC+∠ABC=∠CFG+∠CGF，即可得出答案．

解答：證明：①∵CD是∠ACB的平分線，EF⊥CD于H，
∴∠FCH=∠GCH，
∵在△CFH和△CGH中，

∠FCH=∠GCH CH=CH ∠CHF=∠CHG

，
∴△CFH≌△CGH（ASA），
∴∠CFG=∠CGF；

②∵∠E+∠GEB=∠CBA，
∴∠BAC+∠ABC=∠BAC+∠E+∠BGE，
∵∠CGF=∠BGE，
∴∠BAC+∠ABC=∠BAC+∠E+∠CGF，
∵∠BAC+∠E=∠CFG，
∴∠BAC+∠ABC=∠CFG+∠CGF，
∵∠CFG=∠CGF，
∴∠CFE=

1

2

（∠BAC+∠ABC）．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及三角形外角的性質，根據已知得出∠BAC+∠ABC=∠CFG+∠CGF是解題關鍵．