Question

如圖，P是正方形ABCD的對角線BD上一點，過點P作EF、MN分別平行BC、AB，交兩組對邊于E、F、M、N，則四邊形EBMP和PFDN都是正方形，設正方形EBMP的邊長為a，正方形PFDN的邊長為b．
（1）由此圖可以推導出哪個學過的乘法公式？請你試一試；
（2）2ab與a²+b²有什么大小關系？試著選用幾組特殊值，比較2ab與a²+b²的大小，得出結論；
（3）探索：當點P在BD上什么特殊位置時，有2ab=a²+b²．

Answer 1

考點：完全平方公式的幾何背景

專題：

分析：（1）根據長方形的面積公式和正方形的面積公式即可得出答案；
（2）根據（1）得出的結論和用特殊值法得出的結論，即可判斷出當a與b不相等的時，a²+b²＞2ab，當a與b相等的時，a²+b²=2ab；
（3）根據（2）得出的結論，當a=b時，a²+b²=2ab，即可得出P在大正方形的正中間的時候，有2ab=a²+b²．

解答：解：（1）根據長方形和正方形的面積公式可以得出：
（a+b）²=a²+2ab+b²；

（2）根據（1）可得：a²+b²≥2ab，
如：當a=1，b=3時，
1²+3²=10，2×1×3=6，
則a²+b²＞2ab，
當a=3，b=3時，
3²+3²=18，2×3×3=18，
則a²+b²=2ab，
由此可得：當a與b不相等的時，a²+b²＞2ab，當a與b相等的時，a²+b²=2ab；

（3）根據（2）得出的結論，當P在正方形ABCD的正中間的時候，總有a²+b²=2ab．

點評：主要考查了分解因式與幾何圖形之間的聯系，從幾何的圖形來解釋分解因式的意義，解此類題目的關鍵是正確的分析圖列，找到組成圖形的各個部分，并用面積公式進行求解．